DIVERTISSEMENTS
CURIOSITES AMUSANTES
3 et 9
Commençons par rechercher les nombres les plus grands possibles avec un même chiffre.
Avec 3 fois le chiffre 3 : On pourrait penser que ce serait 3 puissance 3, puis son résultat à son tour élevé à la puissance 3, ce qui nous donnerait : 3 au cube = 27 et il resterait à effectuer 3 puissance 27 (soit 27 multiplications).
On voit bien que 3 élevé à la puissance 33 est supérieure.
Avec 3 fois le chiffre 9 : Ici, ce ne sera pas 9 puissance 99, mais 9 puissance 9, élevé ensuite à la puissance 9, car 9 élevé à la puissance 9 est bien supérieur à 99.
La première phase de calcul, 9 puissance 9 donne 387 420 489 ; pour la seconde phase, il faudrait effectuer 387 420 489 multiplications ! (au lieu de 99 dans le premier cas).
Avec 3 fois le chiffre 3 : On pourrait penser que ce serait 3 puissance 3, puis son résultat à son tour élevé à la puissance 3, ce qui nous donnerait : 3 au cube = 27 et il resterait à effectuer 3 puissance 27 (soit 27 multiplications).
On voit bien que 3 élevé à la puissance 33 est supérieure.
Avec 3 fois le chiffre 9 : Ici, ce ne sera pas 9 puissance 99, mais 9 puissance 9, élevé ensuite à la puissance 9, car 9 élevé à la puissance 9 est bien supérieur à 99.
La première phase de calcul, 9 puissance 9 donne 387 420 489 ; pour la seconde phase, il faudrait effectuer 387 420 489 multiplications ! (au lieu de 99 dans le premier cas).
9
Les multiplications par 9.
Si l'on multiplie les 10 premiers nombres entiers de la suite naturelle par 9,
nous obtenons comme produits :
09, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 et 90
Nous remarquons que les chiffres des dizaines des produits sont, dans leur ordre naturel, les premiers nombres entiers ;
il en est de même pour les chiffres des unités, mais l'ordre est inverse.
Nous retrouvons cette même propriété si nous prenons une suite de nombres entiers consécutifs compris entre 2 dizaines consécutives, par exemple :
21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 et 30
Les produits par 9 seront :
189, 198, 207, 216, 225, 234, 243, 252, 261, 270
les chiffres des unités se retrouvent dans leur ordre naturel renversé :
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
les autres chiffres pris en ensemble dans chaque produit
sont des nombres entiers consécutifs :
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
Si l'on multiplie les 10 premiers nombres entiers de la suite naturelle par 9,
nous obtenons comme produits :
09, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 et 90
Nous remarquons que les chiffres des dizaines des produits sont, dans leur ordre naturel, les premiers nombres entiers ;
il en est de même pour les chiffres des unités, mais l'ordre est inverse.
Nous retrouvons cette même propriété si nous prenons une suite de nombres entiers consécutifs compris entre 2 dizaines consécutives, par exemple :
21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 et 30
Les produits par 9 seront :
189, 198, 207, 216, 225, 234, 243, 252, 261, 270
les chiffres des unités se retrouvent dans leur ordre naturel renversé :
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
les autres chiffres pris en ensemble dans chaque produit
sont des nombres entiers consécutifs :
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
11
Pour multiplier un nombre par 11, on est ramené à ajouter deux produits partiels égaux au multiplicande, le second étant déplacé d'un rang par rapport au premier. Le produit peut s'écrire tout de suite.
Soit à effectuer 387 052 x 11 = 4 257 572
Nous écrivons le chiffre des unités : 2
puis nous ajoutons chaque chiffre du nombre à celui qui le précède :
2 + 5 = 7 que nous écrivons au rang des dizaines
puis 5 + 0 = 5, chiffre des centaines
0 + 7 = 7 ...
7 + 8 = 15 ; je pose le 5 et je retiens le 1
1 (la retenue) +8 + 3 = 12 ; je pose le 2 et je retiens 1
1 (la retenue) + 3 = 4
Et nous parvenons bien au résultat de 4 257 572
Si nous avions posé l'opération, nous nous serions retrouvés avec cette addition :
387052
387052
Il est donc bien plus simple et rapide de l'effectuer directement.
Par la même occasion, il nous sera tout à fait possible d'effectuer une multiplication par 111, voire 1 111 ou plus...
Il faudra juste se souvenir que additions de chiffres intermédiaires
se feront sur 3 chiffres au lieu de 2 (pour une multiplication par 111)
ou sur 4 chiffres (pour 1 111) etc.
Essayons ce même nombre de départ 387 052 et multiplions-le par 111 :
Unités : 2
Dizaines : 2 + 5 = 7
Centaines : 2 + 5 + 0 = 7
Milliers : 5 + 0 + 7 = 12 donc 2 et 1 de retenue
Dizaines de mille : 1 (de retenue) 0 + 7 + 8 = 16 donc 6 et 1 de retenue
Centaines de mille : 1 (de retenue) + 7 + 8 + 3 = 19 donc 9 et 1 de retenue
Millions : 1 (de retenue) + 8 + 3 = 12 donc 2 et 1 de retenue
Dizaines de millions : 1 (de retenue) + 3 = 4
Ce qui nous donne comme résultat : 42 962 772
La manière "classique" aurait donné :
387052
387052
387052
pour un résultat identique 42962772 (évidemment !)
Profitons-en pour noter quelques produits remarquables :
1² = 1
11² = 121
111² = 12 321
1 111² = 1 234 321
11 111² = 123 454 321
111 111² = 12 345 654 321
On voit tout de suite la règle de formation du produit.
Soit à effectuer 387 052 x 11 = 4 257 572
Nous écrivons le chiffre des unités : 2
puis nous ajoutons chaque chiffre du nombre à celui qui le précède :
2 + 5 = 7 que nous écrivons au rang des dizaines
puis 5 + 0 = 5, chiffre des centaines
0 + 7 = 7 ...
7 + 8 = 15 ; je pose le 5 et je retiens le 1
1 (la retenue) +8 + 3 = 12 ; je pose le 2 et je retiens 1
1 (la retenue) + 3 = 4
Et nous parvenons bien au résultat de 4 257 572
Si nous avions posé l'opération, nous nous serions retrouvés avec cette addition :
387052
387052
Il est donc bien plus simple et rapide de l'effectuer directement.
Par la même occasion, il nous sera tout à fait possible d'effectuer une multiplication par 111, voire 1 111 ou plus...
Il faudra juste se souvenir que additions de chiffres intermédiaires
se feront sur 3 chiffres au lieu de 2 (pour une multiplication par 111)
ou sur 4 chiffres (pour 1 111) etc.
Essayons ce même nombre de départ 387 052 et multiplions-le par 111 :
Unités : 2
Dizaines : 2 + 5 = 7
Centaines : 2 + 5 + 0 = 7
Milliers : 5 + 0 + 7 = 12 donc 2 et 1 de retenue
Dizaines de mille : 1 (de retenue) 0 + 7 + 8 = 16 donc 6 et 1 de retenue
Centaines de mille : 1 (de retenue) + 7 + 8 + 3 = 19 donc 9 et 1 de retenue
Millions : 1 (de retenue) + 8 + 3 = 12 donc 2 et 1 de retenue
Dizaines de millions : 1 (de retenue) + 3 = 4
Ce qui nous donne comme résultat : 42 962 772
La manière "classique" aurait donné :
387052
387052
387052
pour un résultat identique 42962772 (évidemment !)
Profitons-en pour noter quelques produits remarquables :
1² = 1
11² = 121
111² = 12 321
1 111² = 1 234 321
11 111² = 123 454 321
111 111² = 12 345 654 321
On voit tout de suite la règle de formation du produit.
12 et 42
Voici une petite curiosité
12 x 42 = 504
Et si nous inversions l'ordre des chiffres ?
21 x 24 = 504
! ? !
12 x 42 = 504
Et si nous inversions l'ordre des chiffres ?
21 x 24 = 504
! ? !
17
17 est curieux, car il est le seul nombre premier à être la somme de quatre premiers successifs.
A savoir : 2 + 3 + 5 + 7 = 17
A savoir : 2 + 3 + 5 + 7 = 17
22
A part vous faire penser à "22, v'là les flics", ou, pour les plus anciens, le "22 à Asnières", le nombre 22 est curieux pour différentes raisons :
1°) Comme je le mentionne plus loin dans le nombre 142 857, il donne une valeur approximative de Pi en divisant 22 par 7.
2°) Il y a 22 diviseurs entiers dans 360 (le cercle), qui sont :
2 3 4 5 6 8 9 10 12 15 18 20 24 30 36 40 45 60 72 90 120 et 180
1°) Comme je le mentionne plus loin dans le nombre 142 857, il donne une valeur approximative de Pi en divisant 22 par 7.
2°) Il y a 22 diviseurs entiers dans 360 (le cercle), qui sont :
2 3 4 5 6 8 9 10 12 15 18 20 24 30 36 40 45 60 72 90 120 et 180
36
- C'est la somme des 8 premiers chiffres :
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36
- C'est la somme des cubes des 3 premiers chiffres :
1 + 8 + 27 = 36
- C'est la dixième partie d'un cercle (360°)
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36
- C'est la somme des cubes des 3 premiers chiffres :
1 + 8 + 27 = 36
- C'est la dixième partie d'un cercle (360°)
37
37 aussi est curieux car :
37 x 3 = 111
37 x 6 = 222
37 x 9 = 333
37 x 12 = 444
.....................
37 x 27 = 999
En multipliant le nombre 37 par chacun des nombres de la suite (3 6 9 12 15 18 21 24 27), on obtient des produits tels que chacun d'eux est formé de 3 chiffres égaux et, de plus, dans chaque produit, la somme des 3 chiffres égale le nombre par lequel on a multiplié 37.
Si l'on considère la suite de la progression jusqu'à 54 (30 33 36 ... 48 51 54),
et que l'on multiplie de nouveau tous ces nombres par 37, chaque produit obtenu
renferme 4 chiffres, les 2 chiffres du milieu sont égaux
et la somme des deux autres égale le chiffre du milieu ; on obtient :
37 x 30 = 1110
37 x 33 = 1221
37 x 36 = 1332
37 x 39 = 1443
.....................
37 x 48 = 1776
37 x 51 = 1887
37 x 54 = 1998
Si l'on considère la suite des nombres de la progression à partir de 60 jusqu'à 108, on retrouvera des produits analogues, et ainsi de suite.
37 x 60 = 2220
......................
37 x 72 = 2664
......................
37 x 99 = 3663
......................
37 x 102 = 3774
......................
37 x 108 = 3996
D'ailleurs, 037 est la période de la fraction décimale périodique égale à 1/27.
En effet, 1/27 = 0.037037037037037037... (27 = 3 x 9 !!!)
Et 1/9 : 0.111111111111111111...
Ce qui permet de voir que 37 x 3 = 111, et la même méthode permet de trouver des relations analogues à celles que nous venons de signaler en ce qui concerne par exemple les nombres
15 873 ou 12 345 679 que nous verrons un peu plus loin.
37 x 3 = 111
37 x 6 = 222
37 x 9 = 333
37 x 12 = 444
.....................
37 x 27 = 999
En multipliant le nombre 37 par chacun des nombres de la suite (3 6 9 12 15 18 21 24 27), on obtient des produits tels que chacun d'eux est formé de 3 chiffres égaux et, de plus, dans chaque produit, la somme des 3 chiffres égale le nombre par lequel on a multiplié 37.
Si l'on considère la suite de la progression jusqu'à 54 (30 33 36 ... 48 51 54),
et que l'on multiplie de nouveau tous ces nombres par 37, chaque produit obtenu
renferme 4 chiffres, les 2 chiffres du milieu sont égaux
et la somme des deux autres égale le chiffre du milieu ; on obtient :
37 x 30 = 1110
37 x 33 = 1221
37 x 36 = 1332
37 x 39 = 1443
.....................
37 x 48 = 1776
37 x 51 = 1887
37 x 54 = 1998
Si l'on considère la suite des nombres de la progression à partir de 60 jusqu'à 108, on retrouvera des produits analogues, et ainsi de suite.
37 x 60 = 2220
......................
37 x 72 = 2664
......................
37 x 99 = 3663
......................
37 x 102 = 3774
......................
37 x 108 = 3996
D'ailleurs, 037 est la période de la fraction décimale périodique égale à 1/27.
En effet, 1/27 = 0.037037037037037037... (27 = 3 x 9 !!!)
Et 1/9 : 0.111111111111111111...
Ce qui permet de voir que 37 x 3 = 111, et la même méthode permet de trouver des relations analogues à celles que nous venons de signaler en ce qui concerne par exemple les nombres
15 873 ou 12 345 679 que nous verrons un peu plus loin.
99
La différence entre un nombre formé de 3 chiffres et ce nombre renversé
est un multiple de 99.
Exemples :
231 - 132 = 99
654 - 456 = 198* soit 99 x 2 (*voir plus loin les particularités de ce nombre 198)
821 - 128 = 693 soit 99 x 7
724 - 427 = 297 soit 99 x 3
est un multiple de 99.
Exemples :
231 - 132 = 99
654 - 456 = 198* soit 99 x 2 (*voir plus loin les particularités de ce nombre 198)
821 - 128 = 693 soit 99 x 7
724 - 427 = 297 soit 99 x 3
198
La différence entre un nombre formé de 3 chiffres qui, pris dans l'ordre écrit, sont consécutifs, et le nombre renversé est toujours 198 (pm : 198 = 99 x 2).
Exemples :
321 - 123 = 198
432 - 234 = 198
654 - 456 = 198
987 - 789 = 198
Exemples :
321 - 123 = 198
432 - 234 = 198
654 - 456 = 198
987 - 789 = 198
666
Ce nombre est considéré comme maléfique par les numérologues ; ils préfèrent, d'ailleurs, le remplacer par des combinaisons, du genre :
666 = 6 + 6 + 6 + 6 puissance 3 + 6 puissance 3 + 6 puissance 3
666 est aussi la somme des carrés des 7 premiers nombres entiers :
2² + 3² + 5² + 7² +11² +13² + 17² = 666
Juste pour dire !
Faites l'addition de :
1 puissance 3, 2 fois : soit 2
+ 2 puissance 3, 2 fois 16
+ 3 puissance 3, 2 fois 54
+ 4 puissance 3, 2 fois 128
+ 5 puissance 3, 2 fois 250
+ 6 puissance 3, 1 fois 216
ce qui vous fait un total de 666
De la sorcellerie !
Bien évidemment, 666 est un nombre palindromique (qui se lit aussi bien de gauche à droite que de droite à gauche, comme la ville de LAVAL par exemple)
666 = 6 + 6 + 6 + 6 puissance 3 + 6 puissance 3 + 6 puissance 3
666 est aussi la somme des carrés des 7 premiers nombres entiers :
2² + 3² + 5² + 7² +11² +13² + 17² = 666
Juste pour dire !
Faites l'addition de :
1 puissance 3, 2 fois : soit 2
+ 2 puissance 3, 2 fois 16
+ 3 puissance 3, 2 fois 54
+ 4 puissance 3, 2 fois 128
+ 5 puissance 3, 2 fois 250
+ 6 puissance 3, 1 fois 216
ce qui vous fait un total de 666
De la sorcellerie !
Bien évidemment, 666 est un nombre palindromique (qui se lit aussi bien de gauche à droite que de droite à gauche, comme la ville de LAVAL par exemple)
1 089
Prenez un nombre de 3 chiffres dont le premier et le dernier sont différents, puis inversez l'ordre des chiffres et faites-en la différence.
Considérez alors ce résultat et rajoutez le à son propre chiffre inversé,
et vous trouverez toujours 1 089.
Exemples :
421 - 124 = 297 ; puis 297 + 792 = 1 089
321 - 123 = 198 ; puis 198 + 891 = 1 089
742 - 247 = 495 ; puis 495 + 594 = 1 089
En outre, la curiosité de ce nombre réside dans le fait que les produits de 1 089 et de deux nombres complémentaires par rapport à 10 forment des palindromes.
|
Avec 1 et 9
Avec 2 et 8 Avec 3 et 7 Avec 4 et 6 |
1089 x 1 = 1089
1089 x 2 = 2178 1089 x 3 = 3267 1089 x 4 = 4356 |
1089 x 9 = 9801
1089 x 8 = 8712 1089 x 7 = 7623 1089 x 6 = 6534 . |
Vous voyez bien les palindromes :
1089 et 9801 ; 2178 et 8712 ; 3267 et 7623 ; 4356 et 6534
1089 et 9801 ; 2178 et 8712 ; 3267 et 7623 ; 4356 et 6534
1681/144
Il s'agit d'une fraction curieuse.
Sa racine carrée est 41 /12 : (41 x 41 = 1681 ; 12 x 12 = 144)
D'autre part, si on lui additionne 5, le résultat est 49/12,
et si on lui soustrait 5, le résultat est 31/12.
Sa racine carrée est 41 /12 : (41 x 41 = 1681 ; 12 x 12 = 144)
D'autre part, si on lui additionne 5, le résultat est 49/12,
et si on lui soustrait 5, le résultat est 31/12.
2520
Il est le PPCM (plus petit commun multiple) des entiers de 1 à 10.
3 087
Si l'on considère un nombre comprenant 4 chiffres pris dans l'ordre naturel des chiffres et le nombre obtenu en inversant l'ordre des chiffres,
la différence des deux nombres est toujours 3 087.
Exemples :
8 765 - 5 678 = 3 087
4 321 - 1 234 = 3 087
6 543 - 3 456 = 3 087
Nous pouvons rajouter qu'en conservant l'ordre naturel des chiffres et en lui ôtant son inverse, quel que soit le nombre de chiffres les composant, nous aurons toujours la même différence.
Exemples :
Avec 5 chiffres :
76 543 - 34 567 = 41 976
54 321 - 12 345 = 41 976
Avec 7 chiffres :
9 876 543 - 3 456 789 = 6 419 754
7 654 321 - 1 234 567 = 6 419 754
etc...
la différence des deux nombres est toujours 3 087.
Exemples :
8 765 - 5 678 = 3 087
4 321 - 1 234 = 3 087
6 543 - 3 456 = 3 087
Nous pouvons rajouter qu'en conservant l'ordre naturel des chiffres et en lui ôtant son inverse, quel que soit le nombre de chiffres les composant, nous aurons toujours la même différence.
Exemples :
Avec 5 chiffres :
76 543 - 34 567 = 41 976
54 321 - 12 345 = 41 976
Avec 7 chiffres :
9 876 543 - 3 456 789 = 6 419 754
7 654 321 - 1 234 567 = 6 419 754
etc...
3 367
Faisons ensemble quelques nouvelles multiplications.
3 367 x 33 = 111 1111
3 367 x 66 = 222 222
3 367 x 99 = 333 333
3 367 x 132 = 444 444
3 367 x 165 = 555 555
3 367 x 198 = 666 666
3 367 x 231 = 777 777
3 367 x 264 = 888 888
3 367 x 297 = 999 999
3 367 x 33 = 111 1111
3 367 x 66 = 222 222
3 367 x 99 = 333 333
3 367 x 132 = 444 444
3 367 x 165 = 555 555
3 367 x 198 = 666 666
3 367 x 231 = 777 777
3 367 x 264 = 888 888
3 367 x 297 = 999 999
15 873
1/63 = 0.015873015873015873... (63 = 7 x 9) D'où :
15 873 x 7 = 111 111
15 873 x 14 = 222 222
15 873 x 21 = 333 333
15 873 x 63 = 999 999
15 873 x 7 = 111 111
15 873 x 14 = 222 222
15 873 x 21 = 333 333
15 873 x 63 = 999 999
142 857
Si vous ne le connaissez pas encore, régalez-vous avec ce nombre
C'est un nombre "cyclique", également nommé "phénix".
C'est un entier dont les permutations circulaires des chiffres correspond aux multiples du nombre.
Vérifions ensemble, en le multipliant par 1, 2 , 3, 4, 5 et 6.
C'est un entier dont les permutations circulaires des chiffres correspond aux multiples du nombre.
Vérifions ensemble, en le multipliant par 1, 2 , 3, 4, 5 et 6.
|
1 x 142 857 = 142 857
2 x 142 857 = 285 714 3 x 142 857 = 428 571 4 x 142 857 = 571 428 5 x 142 857 = 714 285 6 x 142 857 = 857 142 |
Remarquez que le résultat contient les mêmes chiffres, permutés circulairement : replacez les 2 derniers chiffres devant les 4 premiers et vous retrouvez 142 857 - idem - replacez le dernier devant... Je vous laisse faire pour retrouver 142 857 ........ !!! |
Poursuivons nos investigations pour trouver...
|
7 x 142 857 = 999 999
|
Curiosité ?
|
Nous nous apercevons qu'en continuant, le résultat aura un chiffre supplémentaire ; il nous faudra additionner le 1er chiffre au dernier pour retomber sur nos pieds. Appliquons donc cette formule.
|
8 x 142 857 = 1 142 856
9 x 142 857 = 1 285 713
10 x 142 857 = 1 428 570 |
Rajoutons le 1er chiffre (1) au dernier
chiffre (6) et remplaçons donc ce dernier par un 7, soit 142 857 Nous voyons ainsi le dernier 3 devenir 4, permettant de retrouver notre 142 857 La même méthode (1 + 0) nous fait terminer le résultat par un 1, et nous retrouvons notre 142 857 |
Nous pouvons poursuivre ......
Une remarque cependant pour les multiples de 7 (14, 21, 28 etc), il faudra procéder de cette même façon, et retrouver nos 999 999 :
Une remarque cependant pour les multiples de 7 (14, 21, 28 etc), il faudra procéder de cette même façon, et retrouver nos 999 999 :
|
14 x 142857 = 1 999 998
35 x 142857 = 4 999 995 |
Donc le 1 se rajoute au 8 pour faire 9
-id- : 4 + 5 = 9 |
Nous venons de voir qu'en fonction du multiplicateur, le résultat pouvait passer de 6 à 7 chiffres, et nous avons vu la méthode qui consiste à rajouter le 1er chiffre du résultat au dernier pour retrouver cette suite 1 4 2 5 8 7.
Il en sera de même lorsque nous arriverons à des résultats ayant plus de chiffres encore, et nous procéderons toujours de la même manière, mais en modifiant le nombre de chiffres à rajouter en fin du résultat. Prenons quelques exemples :
Il en sera de même lorsque nous arriverons à des résultats ayant plus de chiffres encore, et nous procéderons toujours de la même manière, mais en modifiant le nombre de chiffres à rajouter en fin du résultat. Prenons quelques exemples :
|
79 x 142 857 = 11 285 703 127 x 142 857 = 18 142 839 |
Le résultat a 8 chiffres (comparé aux 6 du départ), soit 2 de plus ; rajoutons donc les 2 premiers (11) aux derniers (03) , et le 03 devient 14, dégageant ainsi 285 714, et nous y sommes de nouveau.
18 + 39 = 57, donc 142 857 ! |
Essayons un quelconque multiple de 7 ; 434 par exemple (62 fois 7)
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434 x 142 857 = 61 999 938
|
61 + 38 = 99, d'où 999 999
|
Enfin, testons un multiplicateur beaucoup plus imposant ; 2 497 par exemple.
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2 497 x 142 857 = 356 713 929 |
9 chiffres, soit 3 de plus que 6 : rajoutons donc les 3 premiers aux 3 derniers, l'addition donnera :
713 929 + 356 = 714 285 Nous retrouvons bien notre suite 142 857 |
Vous vous rendez bien compte que nous pourrions aller ainsi très très loin.
1/142 857 = 0,000 007 000 007 ...
Essayons-nous sur des fractions au diviseur 7
1/142 857 = 0,000 007 000 007 ...
Essayons-nous sur des fractions au diviseur 7
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1/7 =
2/7 = 3/7 = 4/7 = 5/7 = 6/7 = 7/7 = 8/7 = 9/7 = 10/7 = |
0,142857 142857 142857
0,285714 285714 285714 0,428571 428 571 428 571 0,571428 571428 571428 0,714285 714285 714285 0,857142 857142 857142 1,000000 000000 000000 1,142857 142857 142857 1,285714 285714 285714 1,428571 428571 428571 |
Une remarque en passant : dans mon paragraphe "Nombres", j'ai fait un court séjour sur "Pi". Je me souviens qu'à l'école, on nous indiquait le calcul "approximatif" de Pi, en nous faisant appliquer la fraction 22/7.
Refaisons cette opération, et voyons que 22/7 = 3.142857 142857 142857
Refaisons cette opération, et voyons que 22/7 = 3.142857 142857 142857
Etc, etc...
Nous avons réalisé des multiplications de notre nombre, calculé des /7e ; pourquoi pas quelques divisions ?
Nous avons réalisé des multiplications de notre nombre, calculé des /7e ; pourquoi pas quelques divisions ?
|
142 857 / 2 = 71 428,5 142 857 / 4 = 35 714,25 142 857 / 5 = 28 571,4 142 857 / 7 = 20 408,142 857 142 857 / 8 = 17 857,125 |
Que remarquons-nous?
D'abord, qu'il y a une décimale (ça n'est pas gênant), qu'il y a 6 chiffres, nous permettant de rétablir l'ordre et obtenir 142 857 Comme un peu plus haut, résultat à 7 chiffres, donc rajoutons le 1er au dernier pour obtenir 571 428 donc, une fois réordonné, 142 857 Sans commentaires ! Evidence Encore une curiosité ? 8 chiffres au résultat, donc 2 premiers chiffres à rajouter aux 2 derniers, nous obtenons 857 142 donc ... |
Rajoutons un peu de puissance ?
|
A la puissance 2 :
142 857² = 20 408 122 449 |
Rajoutons tous les chiffres "en trop" (par rapport à 6), donc 20 408
à 122 449 et nous obtenons 142 857 |
Si nous ajoutons les tranches de chiffres du résultat, nous obtenons :
20 + 408 + 122 + 449 = 999 (!?!)
20 + 408 + 122 + 449 = 999 (!?!)
|
142 857 élevé à la puissance 3 donne
2 915 443 148 696 793 |
Procédons comme ci-dessus, et additionnons par tranches de 6 chiffres
2915 + 443148 + 696793 = 1 142 856 Réagissons comme ci-dessus, et rajoutons le 1er chiffre au dernier : et nous retrouvons notre 142 857 |
Quelques petites additions curieuses ? Toujours avec notre fidèle 142 857
Par chiffres : 1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 >>> 2 + 7 = 9
Par tranches de 2 chiffres : 14 + 28 + 57 = 99
Par tranches de 3 chiffres : 142 + 857 = 999
Et nous savons que : 142 857 x 7 = 999 999
Par chiffres : 1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 >>> 2 + 7 = 9
Par tranches de 2 chiffres : 14 + 28 + 57 = 99
Par tranches de 3 chiffres : 142 + 857 = 999
Et nous savons que : 142 857 x 7 = 999 999
Un petit supplément ?
142 857 x 56 = 7 999 992 ; comme nous le savons à présent, 7 chiffres au résultat nous invitent à additionner le 1er au dernier, donc : 7 + 999 992 = 999 999 ce qui est donc égal à 142 857 x 7
142 857 x 125 = 17 857 125
8 chiffres, donc les 2 premiers ajoutés aux derniers : 17 + 857 125 = 857 142, ce qui est égal à 142 857 x 6
142 857 x 7 841 131 285 974 854 689 745 213 = 1 120 160 492 120 509 816 412 931 893 541
(ouf ! je ne saurais même pas le prononcer, mais vous pouvez vérifier !) Additionnons par tranches de 6 chiffres :
1 + 120 160 + 492 120 + 509 816 + 412 931 + 893 541 = 2 428 569
Toujours même méthode, 7 chiffres, donc le 1er à rajouter au dernier : 428 571
(on retrouve bien notre 142 857) et ce nombre est égal à 142 857 x 3
142 857 x 56 = 7 999 992 ; comme nous le savons à présent, 7 chiffres au résultat nous invitent à additionner le 1er au dernier, donc : 7 + 999 992 = 999 999 ce qui est donc égal à 142 857 x 7
142 857 x 125 = 17 857 125
8 chiffres, donc les 2 premiers ajoutés aux derniers : 17 + 857 125 = 857 142, ce qui est égal à 142 857 x 6
142 857 x 7 841 131 285 974 854 689 745 213 = 1 120 160 492 120 509 816 412 931 893 541
(ouf ! je ne saurais même pas le prononcer, mais vous pouvez vérifier !) Additionnons par tranches de 6 chiffres :
1 + 120 160 + 492 120 + 509 816 + 412 931 + 893 541 = 2 428 569
Toujours même méthode, 7 chiffres, donc le 1er à rajouter au dernier : 428 571
(on retrouve bien notre 142 857) et ce nombre est égal à 142 857 x 3
Laissons-nous aller à une nouvelle petite fantaisie
|
142 857 x 3 = 428 571
142 857 x 2 = 285 714 142 857 x 6 = 857 142 142 857 x 4 = 571 428 142 857 x 5 = 714 285 142 857 x 1 = 142 857 |
10 = 3 + (7 x 1) 100 = 2 + (7 x 14) 1 000 = 6 + (7 x 142) 10 000 = 4 + (7 x 1 428) 100 000 = 5 + (7 x 14 285) 1 000 000 = 1 + (7 x 142 857) |
Remarquez la position des chiffres en gras bleu à gauche et à droite.
142 857 est un nombre "Harshad" (ou nombre de Niven, ou encore nombre multinumérique). Pour plus de détails, cliquer ICI.
Il est donc divisible par la somme de ses chiffres :
1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 ; et 142 857 / 27 = 5 291 (nombre entier)
______________________________________________________________________
142 857 est également un nombre "Kaprekar" : cliquer sur ce mot pour en savoir plus.
Ce nombre, élevé au carré, peut être séparé en une partie gauche et une partie droite, et la somme de ces deux parties donne le nombre initial :
142 857² = 20 408 122 449 : donc, 20 408 + 122 449 = 142 857
Il est donc divisible par la somme de ses chiffres :
1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 ; et 142 857 / 27 = 5 291 (nombre entier)
______________________________________________________________________
142 857 est également un nombre "Kaprekar" : cliquer sur ce mot pour en savoir plus.
Ce nombre, élevé au carré, peut être séparé en une partie gauche et une partie droite, et la somme de ces deux parties donne le nombre initial :
142 857² = 20 408 122 449 : donc, 20 408 + 122 449 = 142 857
Pour en terminer avec notre 142 857, je vous propose une petite "magie" qui épatera peut-être certains de vos amis. Demandez-leur de prendre une feuille de papier et un crayon ; accessoirement une calculette.
Vous leur demandez d'inscrire un nombre de 5 chiffres sur la feuille, sans vous le montrer évidemment.
Vous leur faites ajouter 142 857 (vous le connaissez bien à présent).
Faites multiplier ce résultat par 7.
Faites supprimer (barrer) le chiffre de gauche.
Multiplier alors ce résultat par 143.
Faites annoncer le chiffre.
Rajouter alors vous-mêmes 143 : vous obtenez alors un nombre à 8 chiffres.
Les 2 premiers et les 3 derniers vous indiquent le nombre choisi par votre ami.
Prenons un exemple :
Admettons que le nombre à découvrir est 97 548 (noté sur le papier du spectateur)
Faire lui ajouter 142 857 : il trouvera 240 405
Multiplié par 7, il trouvera : 1 682 835
Suppression du chiffre de gauche, restera : 682 835
Multiplié par 143, le résultat sera : 97 645 405
Le spectateur vous indiquera ce nombre, auquel vous ajoutez 143, ce qui donne : 97 645 548
Vous ne conservez que les 2 premiers chiffres (97) et les 3 derniers (548)
et vous annoncez triomphalement le nombre à découvrir : 97 548
Vous leur demandez d'inscrire un nombre de 5 chiffres sur la feuille, sans vous le montrer évidemment.
Vous leur faites ajouter 142 857 (vous le connaissez bien à présent).
Faites multiplier ce résultat par 7.
Faites supprimer (barrer) le chiffre de gauche.
Multiplier alors ce résultat par 143.
Faites annoncer le chiffre.
Rajouter alors vous-mêmes 143 : vous obtenez alors un nombre à 8 chiffres.
Les 2 premiers et les 3 derniers vous indiquent le nombre choisi par votre ami.
Prenons un exemple :
Admettons que le nombre à découvrir est 97 548 (noté sur le papier du spectateur)
Faire lui ajouter 142 857 : il trouvera 240 405
Multiplié par 7, il trouvera : 1 682 835
Suppression du chiffre de gauche, restera : 682 835
Multiplié par 143, le résultat sera : 97 645 405
Le spectateur vous indiquera ce nombre, auquel vous ajoutez 143, ce qui donne : 97 645 548
Vous ne conservez que les 2 premiers chiffres (97) et les 3 derniers (548)
et vous annoncez triomphalement le nombre à découvrir : 97 548
J'espère que ce nombre vous aura surpris, et plu, car il est véritablement exceptionnel.
3 410 968
Ce nombre est curieux, car si vous effectuez la multiplication
41 096 x 83 = 3 410 968
vous retrouvez 41 096 placé entre le 3 et le 8
3 41096 8
Nous devons ce nombre curieux à H.E.DUDENEY
41 096 x 83 = 3 410 968
vous retrouvez 41 096 placé entre le 3 et le 8
3 41096 8
Nous devons ce nombre curieux à H.E.DUDENEY
12 345 679
A ne pas confondre avec 123 456 789 que vous verrez un peu plus loin et qui comprend le 8.
Ce nombre est composé par l'ensemble des chiffres, à l'exception du 8 et du 0, placés dans l'ordre croissant Son originalité apparaît lorsqu'on le multiplie par un multiple de 9
12 345 679 x 9 = 111 111 111
12 345 679 x 18 = 222 222 222
12 345 679 x 27 = 333 333 333
Nous remarquons les résultats en 1 pour 1 x 9 ; en 2 pour 2 x 9, etc
Voyons pour 9 fois 9 (81)
12 345 679 x 81 = 999 999 999
et pour 43 fois 9 (387)
12 345 679 x 387 = 4 777 777 773
Ne trouvez-vous pas une similitude avec mon exposé sur 142 857 ?
Si nous rajoutons le 1er chiffre au dernier .......
Une dernière confirmation ?
918 fois 9 (8 262)
12 345 679 x 8 262 = 101 999 999 898
Bien sûr, supprimons les 3 premiers en les rajoutant au résultat :
101 + 999 999 898 = 999 999 999
Pour en terminer avec ce nombre, je vous suggère d'effectuer cette petite multiplication :
12 345 679 x 8 = ........
Bien sûr, vous avez trouvé : 98 765 432 : suite logique des chiffres, en descendant
12 345 679 x 18 = 222 222 222
12 345 679 x 27 = 333 333 333
Nous remarquons les résultats en 1 pour 1 x 9 ; en 2 pour 2 x 9, etc
Voyons pour 9 fois 9 (81)
12 345 679 x 81 = 999 999 999
et pour 43 fois 9 (387)
12 345 679 x 387 = 4 777 777 773
Ne trouvez-vous pas une similitude avec mon exposé sur 142 857 ?
Si nous rajoutons le 1er chiffre au dernier .......
Une dernière confirmation ?
918 fois 9 (8 262)
12 345 679 x 8 262 = 101 999 999 898
Bien sûr, supprimons les 3 premiers en les rajoutant au résultat :
101 + 999 999 898 = 999 999 999
Pour en terminer avec ce nombre, je vous suggère d'effectuer cette petite multiplication :
12 345 679 x 8 = ........
Bien sûr, vous avez trouvé : 98 765 432 : suite logique des chiffres, en descendant
Comme pour 142 857, permettons-nous une petite expérience "gratifiante" pour vous vis à vis de vos amis.
Demandez à votre interlocuteur ami son chiffre préféré. Faites-lui alors multiplier
12 345 679 (pas trop difficile ! mais n'oubliez pas qu'il n'y a pas de 8) par un nombre dont vous allez vous souvenir facilement, car il est son chiffre multiplié par 7. Je vous explique plus clairement :
Demandez à votre interlocuteur ami son chiffre préféré. Faites-lui alors multiplier
12 345 679 (pas trop difficile ! mais n'oubliez pas qu'il n'y a pas de 8) par un nombre dont vous allez vous souvenir facilement, car il est son chiffre multiplié par 7. Je vous explique plus clairement :
|
Si le chiffre préféré est |
1
2 3 4 5 6 7 8 9 |
Multiplier ce chiffre par 9 |
9
18 27 36 45 54 63 72 81 |
- Quelques exemples :
|
Si le chiffre choisi est 2
Si le chiffre choisi est 6 Si le chiffre choisi est 9 |
12 345 679 x 18
12 345 679 x 54 12 345 679 x 81 |
222 222 222
666 666 666 999 999 999 |
Votre ami retrouvera ainsi son chiffre préféré .... en 9 exemplaires !
123 456 789
A ne pas confondre avec 12 345 679 vu précédemment et qui ne contient pas le 8.
Ce nombre 123 456 789 est composé par tous les chiffres autres que le 0.
La somme de ses chiffres est 45, comme tous les nombres cycliques (nombres formés de tous les chiffres), et en particulier le nombre renversé : 987 654 321 ;
et la différence entre ces 2 nombres est de 864 197 532, encore un nombre cyclique dont la somme de ses chiffres égale 45.
Le nombre 123 456 789 multiplié par chacun des chiffres significatifs non multiple de 3, donne comme produits des nombres cycliques :
123 456 789 x 1 = 123 456 789
123 456 789 x 2 = 246 913 578
123 456 789 x 4 = 493 827 156
123 456 789 x 5 = 617 283 945
123 456 789 x 7 = 864 197 523
123 456 789 x 8 = 987 654 312
Ce nombre 123 456 789 est composé par tous les chiffres autres que le 0.
La somme de ses chiffres est 45, comme tous les nombres cycliques (nombres formés de tous les chiffres), et en particulier le nombre renversé : 987 654 321 ;
et la différence entre ces 2 nombres est de 864 197 532, encore un nombre cyclique dont la somme de ses chiffres égale 45.
Le nombre 123 456 789 multiplié par chacun des chiffres significatifs non multiple de 3, donne comme produits des nombres cycliques :
123 456 789 x 1 = 123 456 789
123 456 789 x 2 = 246 913 578
123 456 789 x 4 = 493 827 156
123 456 789 x 5 = 617 283 945
123 456 789 x 7 = 864 197 523
123 456 789 x 8 = 987 654 312
381 654 729
Ce nombre a la particularité suivante :
Son 1er chiffre est divisible par 1 (bien sûr me direz-vous !)
Le nombre formé par les 2 premiers chiffres est divisible par 2
Le nombre formé par les 3 premiers est divisible par 3 etc...
Et ce nombre est formé de 9 chiffres différents (hormis le 0).
Voyez ci-dessous.
Son 1er chiffre est divisible par 1 (bien sûr me direz-vous !)
Le nombre formé par les 2 premiers chiffres est divisible par 2
Le nombre formé par les 3 premiers est divisible par 3 etc...
Et ce nombre est formé de 9 chiffres différents (hormis le 0).
Voyez ci-dessous.
2 438 195 760
4 753 869 120
3 785 942 160
4 876 391 520
Ces nombres sont constitués des 10 chiffres, chacun pris une seule fois, et ils sont divisibles par tous les entiers inférieurs à 19.
4 753 869 120
3 785 942 160
4 876 391 520
Ces nombres sont constitués des 10 chiffres, chacun pris une seule fois, et ils sont divisibles par tous les entiers inférieurs à 19.
0 588 235 294 117 647
Voici un autre nombre curieux (facile à se souvenir, n'est-ce pas ?)
"Vous avez dit curieux ? Comme c'est curieux !" En quoi l'est-il ?
Essayez donc de multiplier ce nombre par 2, 3, 4.....15, 16, et puis par 17
Vous risquez de ne pas avoir une calculette affichant suffisamment de chiffres ; si c'est le cas, vous allez devoir effectuer ces multiplications grâce au bon vieux crayon et une feuille de papier.
Allez ! Je vais vous aider. Voici les résultats
"Vous avez dit curieux ? Comme c'est curieux !" En quoi l'est-il ?
Essayez donc de multiplier ce nombre par 2, 3, 4.....15, 16, et puis par 17
Vous risquez de ne pas avoir une calculette affichant suffisamment de chiffres ; si c'est le cas, vous allez devoir effectuer ces multiplications grâce au bon vieux crayon et une feuille de papier.
Allez ! Je vais vous aider. Voici les résultats
Il faut bien que je vous complique un peu la vie !
Lorsqu'on effectue les calculs, on retrouve toujours la même suite de chiffres
(comme ci-dessus pour le 142 857), et cela dans le même ordre cyclique.
Notez le résultat de la multiplication par 17.
D'ailleurs, amusez-vous à diviser 1 par 17, et vous obtiendrez :
0.0 588 235 294 117 647
(comme ci-dessus pour le 142 857), et cela dans le même ordre cyclique.
Notez le résultat de la multiplication par 17.
D'ailleurs, amusez-vous à diviser 1 par 17, et vous obtiendrez :
0.0 588 235 294 117 647
Vous aurez également remarqué que le nombre est divisible par 9 (comme 142 857 !)
PYRAMIDES
Voici, pour vous distraire un peu, quelques pyramides étonnantes, organisées en progression.
|
1 x 8 + 1 = 9 12 x 8 + 2 = 98 123 x 8 + 3 = 987 1234 x 8 + 4 = 9876 12345 x 8 + 5 = 98765 123456 x 8 + 6 = 987654 1234567 x 8 + 7 = 9876543 12345678 x 8 + 8 = 98765432 123456789 x 9 + 9 = 987654321 |
1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111 123 x 9 + 4 = 1111 1234 x 9 + 5 = 11111 12345 x 9 + 6 = 111111 123456 x 9 + 7 = 1111111 1234567 x 9 + 8 = 11111111 12345678 x 9 + 9 = 111111111 123456789 x 9 + 10 = 1111111111 |
|
9 x 9 + 7 = 88 98 x 9 + 6 = 888 987 x 9 + 5 = 8888 9876 x 9 + 4 = 88888 98765 x 9 + 3 = 888888 987654 x 9 + 2 = 8888888 9876543 x 9 + 1 = 88888888 98765432 x 9 + 0 = 888888888 |
1 x 1 = 1
11 x 11 + 121 111 x 111 = 12321 1111 x 1111 = 1234321 11111 x 11111 = 123454321 111111 x 111111 = 12345654321 1111111 x 1111111 = 1234567654321 11111111 x 11111111 = 123456787654321 111111111 x 111111111 = 12345678987654321 |
