DIVERTISSEMENTS
TESTS AMUSANTS
Voici quelques petits test et problèmes amusants.
Que bouillonnent les cerveaux et que soient bonnes les réflexions.
Que bouillonnent les cerveaux et que soient bonnes les réflexions.
LE CAFÉ AU LAIT
Lucas et Nathan sont tranquillement installés à la terrasse d'un bistrot.
Lucas s'est commandé une tasse de café, tandis que Nathan a préféré une tasse de lait.
Leur tasse a la même taille et ils ont la même quantité de boisson.
"Je te donne une cuillère de café dans ton lait", dit Lucas.
"OK", répond Nathan," mais à mon tour je vais te donner
une cuillère de mon lait au café dans ton café".
Lucas fait alors la remarque suivante à Nathan :
"Je crois bien que j'ai moins de lait dans mon café que tu n'as de café dans ton lait, car je t'ai donné une cuillère pleine de café, alors que tu m'as rendu une cuillère de café au lait.
???
Lucas et Nathan sont tranquillement installés à la terrasse d'un bistrot.
Lucas s'est commandé une tasse de café, tandis que Nathan a préféré une tasse de lait.
Leur tasse a la même taille et ils ont la même quantité de boisson.
"Je te donne une cuillère de café dans ton lait", dit Lucas.
"OK", répond Nathan," mais à mon tour je vais te donner
une cuillère de mon lait au café dans ton café".
Lucas fait alors la remarque suivante à Nathan :
"Je crois bien que j'ai moins de lait dans mon café que tu n'as de café dans ton lait, car je t'ai donné une cuillère pleine de café, alors que tu m'as rendu une cuillère de café au lait.
???
Résolution
Finalement, nous constatons que Lucas a 16 carrés de café et 4 carrés de lait
et que Nathan a 16 carrés de lait et 4 carrés de café.
et que Nathan a 16 carrés de lait et 4 carrés de café.
LES AIGUILLES DE L'HORLOGE
Si vous avez lu mon chapitre sur les paradoxes, vous vous souvenez du
paradoxe de ZENON concernant la course entre Achille et la tortue, et où celle-ci partait avec une avance sur Achille.
Dans le cas d'une horloge, l'aiguille des minutes tourne plus vite que celle des heures
(idem pour celles des secondes, bien sûr), sauf que dans ce cas, les aiguilles plus rapides rattrapent et dépassent les plus lentes.
Un Suisse, passionné de montres, s'est interrogé devant cette course des aiguilles, et, partant du fait que l'aiguille des minutes va 12 fois plus vite que celle des heures, il pose ce problème :
Combien de fois les aiguilles, positionnées au départ à midi,
se superposeront-elles avant minuit ?
Et, à la seconde près, quels sont les instants où elles se superposeront ?
Pour corser encore un peu, on peut y rajouter l'aiguille des secondes !
Si vous avez lu mon chapitre sur les paradoxes, vous vous souvenez du
paradoxe de ZENON concernant la course entre Achille et la tortue, et où celle-ci partait avec une avance sur Achille.
Dans le cas d'une horloge, l'aiguille des minutes tourne plus vite que celle des heures
(idem pour celles des secondes, bien sûr), sauf que dans ce cas, les aiguilles plus rapides rattrapent et dépassent les plus lentes.
Un Suisse, passionné de montres, s'est interrogé devant cette course des aiguilles, et, partant du fait que l'aiguille des minutes va 12 fois plus vite que celle des heures, il pose ce problème :
Combien de fois les aiguilles, positionnées au départ à midi,
se superposeront-elles avant minuit ?
Et, à la seconde près, quels sont les instants où elles se superposeront ?
Pour corser encore un peu, on peut y rajouter l'aiguille des secondes !
Résolution
Pour simplifier le raisonnement, lorsque l'aiguille des minutes arrivera sur 12, celle des heures se positionnera sur 1 ; il en sera de même au tour suivant, elle devra aller jusqu'au 2 pour retrouver celle des heures.
On se rentre donc bien compte que l'aiguille des minutes sera superposée à
celle des heures 11 fois en 12 heures (et non pas 12 !).
Démonstration : Si on nomme "a" l'intervalle parcouru entre les superpositions sur les 12 heures de l'horloge, alors la grande aiguille (celle des minutes)
a parcouru 12 fois plus, soit : 12 "a",
et la superposition se fera après le parcours accompli, soit 12 + a.
Il n'y aura donc que 11 superpositions dans le laps de temps qui sépare minuit de midi,
Quant aux instants précis des superpositions, en appliquant cette formule de 12/11 :
1ère à 12 heures 0 minutes et 0 secondes
2e à 1 heure 5 minutes et 27 secondes *
3e à 2 heures 10 minutes et 54 secondes
4e à 3 heures 16 minutes et 21 secondes
etc... jusqu'à la
11e à 10 heures 54 minutes et 32 secondes
la 12e aura lieu après minuit.
* 1 heures x 12/11 = 1.090909... heures
soit : 60 minutes x 12 = 65.45 heures, donc 1 heure 5 minutes plus 45 % d'une minute
45 % d'une minute = 27 secondes
D'où l'intervalle "horaire" de 1 heure 5 minutes et 27 secondes
On se rentre donc bien compte que l'aiguille des minutes sera superposée à
celle des heures 11 fois en 12 heures (et non pas 12 !).
Démonstration : Si on nomme "a" l'intervalle parcouru entre les superpositions sur les 12 heures de l'horloge, alors la grande aiguille (celle des minutes)
a parcouru 12 fois plus, soit : 12 "a",
et la superposition se fera après le parcours accompli, soit 12 + a.
Il n'y aura donc que 11 superpositions dans le laps de temps qui sépare minuit de midi,
Quant aux instants précis des superpositions, en appliquant cette formule de 12/11 :
1ère à 12 heures 0 minutes et 0 secondes
2e à 1 heure 5 minutes et 27 secondes *
3e à 2 heures 10 minutes et 54 secondes
4e à 3 heures 16 minutes et 21 secondes
etc... jusqu'à la
11e à 10 heures 54 minutes et 32 secondes
la 12e aura lieu après minuit.
* 1 heures x 12/11 = 1.090909... heures
soit : 60 minutes x 12 = 65.45 heures, donc 1 heure 5 minutes plus 45 % d'une minute
45 % d'une minute = 27 secondes
D'où l'intervalle "horaire" de 1 heure 5 minutes et 27 secondes
LES TOMATES
Un gérant d'hypermarché achète 125 cageots de 12 kg de tomates à 1.35 € le kilo.
Il revend les tomates à 2.16 € le kilo et fait un bénéfice de 988.20 €
Question : Combien de kilos de tomates n'ont pas été vendus ?
Un gérant d'hypermarché achète 125 cageots de 12 kg de tomates à 1.35 € le kilo.
Il revend les tomates à 2.16 € le kilo et fait un bénéfice de 988.20 €
Question : Combien de kilos de tomates n'ont pas été vendus ?
Solution...s ?
Solution d'Alex
125 cageots de 12 kg donnent 1 500 kg Bénéfice en € au kg : 2.16 - 1.35 = 0.81 € Nombre de kg correspondant au bénéfice : 988.20 : 0.81 = 1 220 Quantité invendue : 1 500 - 1 220 = 280 kg |
Solution de Bruno
Prix de vente = prix d'achat + bénéfice Prix de vente en € = 988.20 + 1.35 x (125 x 12) = 3 013.20 € Quantité vendue : 3 013.20 : 2.16 = 1 395 kg Quantité invendue : 1 500 - 1 395 = 105 kg |
??????? ???????
Qu'avez vous trouvé ?
Explications :
Explications :
Interprétation d'Alex :
Ici, les tomates non vendues gardent leur valeur potentielle de vente (elles n'ont pas été prises en compte dans le bénéfice) et elles n'occasionnent aucune perte. |
Interprétation de Bruno :
Ici, on considère que les tomates non vendues n'ont plus aucune valeur. Elles sont déjà comptées dans le bénéfice |
Une autre solution :
Bénéfice par kg de tomate (en €) : 2.16 - 1.35 = 0.81 € Prix d'achat de toutes les tomates :125 x 12 x 1.35 = 2 025 € Prix de vente de toutes les tomates : 125 x 12 x 2.16 = 3 240 € Bénéfice obtenu en vendant toutes les tomates : 3.240 € - 2 025 € = 1 215 € Mais on n'a obtenu que 988.20 € La différence correspond à l'absence de bénéfice sur les tomates invendues, soit : 1 215 € - 988.20 € = 226.80 € |
Interprétation 1 :
Les tomates non vendues gardent leur valeur potentielle de vente et n'occasionnent ni perte ni gain. Quantité de tomates invendues : 226.80 : 0.81 = 280 kg |
Interprétation 2 :
Les tomates non vendues n'ont plus aucune valeur. La perte est du prix de vente pour chaque kg non vendu. Quantité de tomates invendues : 226.80 : 2.16 = 105 kg |
PIERRE QUI COULE
Une grosse pierre dans un bateau qui flotte sur un lac.
On jette la pierre dans le lac : elle coule.
Question :
Que devient le niveau du lac ?
Il monte ?
Il baisse ?
Il ne change pas ?
Une grosse pierre dans un bateau qui flotte sur un lac.
On jette la pierre dans le lac : elle coule.
Question :
Que devient le niveau du lac ?
Il monte ?
Il baisse ?
Il ne change pas ?
Le niveau baisse quand la pierre est dans l'eau !
En effet, dans le bateau, la pierre déplace un volume d'eau (V 1) de masse égale à celle de la pierre : c'est le principe d'Archimède :
"Tout corps plongé dans un fluide reçoit de la part de ce fluide une force (poussée) verticale vers le haut dont l'intensité est égale au poids du volume de fluide déplacé".
(Ce volume est donc égal au volume immergé du corps).
Si la pierre pèse 1 kg, 1 litre d'eau est déplacé mais la pierre occupe un volume plus petit que celui d'un litre d'eau.
Dans l'eau, la pierre qui a coulé, déplace un volume d'eau égal à son propre volume (V 2).
Comme la pierre coule, elle a une densité supérieure à celle de l'eau et pour une même masse, son volume est plus petit que celui de l'eau. V 2 est plus petit que V 1.
Le volume d'eau déplacé V 2 est donc plus petit quand la pierre est dans l'eau.
En effet, dans le bateau, la pierre déplace un volume d'eau (V 1) de masse égale à celle de la pierre : c'est le principe d'Archimède :
"Tout corps plongé dans un fluide reçoit de la part de ce fluide une force (poussée) verticale vers le haut dont l'intensité est égale au poids du volume de fluide déplacé".
(Ce volume est donc égal au volume immergé du corps).
Si la pierre pèse 1 kg, 1 litre d'eau est déplacé mais la pierre occupe un volume plus petit que celui d'un litre d'eau.
Dans l'eau, la pierre qui a coulé, déplace un volume d'eau égal à son propre volume (V 2).
Comme la pierre coule, elle a une densité supérieure à celle de l'eau et pour une même masse, son volume est plus petit que celui de l'eau. V 2 est plus petit que V 1.
Le volume d'eau déplacé V 2 est donc plus petit quand la pierre est dans l'eau.
GLACE FONDANTE
Quand les glaçons fondent dans un verre rempli d'eau à ras bord, que se passe-t-il ?
L'eau déborde du verre ?
Le niveau d'eau diminue ?
Le niveau ne change pas ?
Quand les glaçons fondent dans un verre rempli d'eau à ras bord, que se passe-t-il ?
L'eau déborde du verre ?
Le niveau d'eau diminue ?
Le niveau ne change pas ?
Quand les glaçons fondent dans un verre rempli d'eau à ras bord, l'eau ne déborde pas du verre. Le niveau reste inchangé.
En effet, la masse de l'eau déplacée est égale à celle du total des glaçons : ceux-ci, en équilibre, sont soumis à deux forces qui s'annulent : leur poids et la poussée d'Archimède.
En redevenant eau, les glaçons occupent donc un volume identique à celui de l'eau déplacée qui avait la même masse qu'eux.
Dans les deux cas, avant et après la fonte, le volume d'eau est identique.
En effet, la masse de l'eau déplacée est égale à celle du total des glaçons : ceux-ci, en équilibre, sont soumis à deux forces qui s'annulent : leur poids et la poussée d'Archimède.
En redevenant eau, les glaçons occupent donc un volume identique à celui de l'eau déplacée qui avait la même masse qu'eux.
Dans les deux cas, avant et après la fonte, le volume d'eau est identique.
LE RECHAUFFEMENT DE LA PLANETE
Le réchauffement de la planète va-t-il faire s'élever le niveau des océans en faisant fondre les icebergs ?
Le réchauffement de la planète va-t-il faire s'élever le niveau des océans en faisant fondre les icebergs ?
S'il monte, cela ne viendra pas de la fonte des icebergs, aussi gros soient-ils !
Le niveau montera quand même car... il y a des glaces terrestres qui fondront, mais aussi parce que de l'eau chaude occupe un volume plus important que de l'eau froide. La dilatation des océans provoque une montée des eaux.
Par ailleurs, on peut penser aux perturbations dans le cycle de l'eau du système terrestre.
Le niveau montera quand même car... il y a des glaces terrestres qui fondront, mais aussi parce que de l'eau chaude occupe un volume plus important que de l'eau froide. La dilatation des océans provoque une montée des eaux.
Par ailleurs, on peut penser aux perturbations dans le cycle de l'eau du système terrestre.
LA JEUNE FILLE ET LE ROI CRUEL
Un roi cruel a fait mettre au cachot une jeune fille qui refusait de l'épouser. Après une année passée sans que la jeune fille revienne sur sa décision, le roi la fait venir dans la cour du château et lui propose un marché.
"Je vais ramasser deux cailloux, un noir et un blanc", lui dit-il, "et les tenir cachés chacun dans une main. Tu choisiras alors librement l'une des deux.
Si tu tires le caillou blanc tu seras libre ; si tu tires le noir, tu m'épouseras".
La jeune fille accepte ce marché avec grand crainte. Mais sa crainte se transforme en panique quand elle voit que le roi se penche pour ramasser
subrepticement deux cailloux noirs !
Que peut-elle faire pour ne pas épouser ce roi cruel ?
Un roi cruel a fait mettre au cachot une jeune fille qui refusait de l'épouser. Après une année passée sans que la jeune fille revienne sur sa décision, le roi la fait venir dans la cour du château et lui propose un marché.
"Je vais ramasser deux cailloux, un noir et un blanc", lui dit-il, "et les tenir cachés chacun dans une main. Tu choisiras alors librement l'une des deux.
Si tu tires le caillou blanc tu seras libre ; si tu tires le noir, tu m'épouseras".
La jeune fille accepte ce marché avec grand crainte. Mais sa crainte se transforme en panique quand elle voit que le roi se penche pour ramasser
subrepticement deux cailloux noirs !
Que peut-elle faire pour ne pas épouser ce roi cruel ?
Solution
Ce problème cité par Edward de BONO dans "La pensée latérale" illustre une construction erronée de l'univers de recherche qui fait que l'énoncé
n'a bel et bien, apparemment, aucune solution.
En réalité, la contrainte "Je vais ramasser un caillou blanc et un noir", contrainte qui n'est pas respectée par le roi, se retourne joliment contre lui.
La jeune fille choisit un caillou dans l'une des mains et le fait aussitôt volontairement tomber à terre, au milieu des autres dans la cour. On ne le voit plus.
"Pardon", dit-elle, "mais la couleur de celui qui reste décide aussi bien de mon sort en donnant, par opposition, la couleur de celui qui est tombé".
L'autre est noir, bien sûr, et la jeune fille est libre car elle est censée
avoir choisi un blanc, tombé à terre !
Ce problème cité par Edward de BONO dans "La pensée latérale" illustre une construction erronée de l'univers de recherche qui fait que l'énoncé
n'a bel et bien, apparemment, aucune solution.
En réalité, la contrainte "Je vais ramasser un caillou blanc et un noir", contrainte qui n'est pas respectée par le roi, se retourne joliment contre lui.
La jeune fille choisit un caillou dans l'une des mains et le fait aussitôt volontairement tomber à terre, au milieu des autres dans la cour. On ne le voit plus.
"Pardon", dit-elle, "mais la couleur de celui qui reste décide aussi bien de mon sort en donnant, par opposition, la couleur de celui qui est tombé".
L'autre est noir, bien sûr, et la jeune fille est libre car elle est censée
avoir choisi un blanc, tombé à terre !
LE PARADOXE DU MENTEUR
Vous pouvez vous reporter à mon sous-chapitre "Paradoxes amusants" inclus dans "Divertissements".
A la frontière de Bordurie, les soldats demandent à chaque visiteur :
"Pourquoi venez-vous ici ?"
Si le voyageur dit la vérité, tout va bien, sinon, il est pendu.
Un jour, un voyageur répond :
"Je viens pour être pendu."
En quoi cette réponse est-elle judicieuse ?
Vous pouvez vous reporter à mon sous-chapitre "Paradoxes amusants" inclus dans "Divertissements".
A la frontière de Bordurie, les soldats demandent à chaque visiteur :
"Pourquoi venez-vous ici ?"
Si le voyageur dit la vérité, tout va bien, sinon, il est pendu.
Un jour, un voyageur répond :
"Je viens pour être pendu."
En quoi cette réponse est-elle judicieuse ?
Si les soldats ne pendent pas l'homme, alors il a menti, donc il doit être pendu :
il y a contradiction.
Mais s'ils le pendent, alors il a dit la vérité et ne devait pas être pendu : également
il y a contradiction.
Dans les deux cas, les soldats ne pourront pas prendre de décision !
LA JEUNE FILLE ET LES AIMANTS
La jeune fille au long ruban dans les cheveux se retrouve seule dans une pièce vide, avec deux barres d'acier identiques, à ceci près que l'une est aimantée et l'autre pas.
Pour être définitivement libre, elle doit déterminer celle qui est aimantée. Les barres sont lourdes, solides, incassables et aucun matériel n'est à sa disposition.
Comment s'y prendra-t-elle ?
La jeune fille au long ruban dans les cheveux se retrouve seule dans une pièce vide, avec deux barres d'acier identiques, à ceci près que l'une est aimantée et l'autre pas.
Pour être définitivement libre, elle doit déterminer celle qui est aimantée. Les barres sont lourdes, solides, incassables et aucun matériel n'est à sa disposition.
Comment s'y prendra-t-elle ?
Dans ce problème, nous ne sommes capables d'aucune référence immédiate. La résolution est du type "tout ou rien". Mais elle peut jaillir après un travail intérieur inconscient.
La solution existe, et elle est simple. Il faut rompre une symétrie. Mais ici, la solution doit être purement physique et les seuls objets manipulables sont les deux barres, et ... le ruban.
L'attraction magnétique est complètement symétrique par rapport aux deux barres : elle ne permet pas de dire qui attire et qui est attiré... sauf justement en un point : celui qui correspond au milieu de la barre aimantée, qui, lui, par symétrie, ne peut être aimanté.
On détermine donc le milieu de l'une des barres (B par exemple). Pour cela, on prend sa longueur avec le ruban. On plie en deux la partie du ruban qui correspond à la longueur de la barre pour en déterminer le milieu.
Alors, on présente l'autre barre (A) perpendiculairement au milieu de la barre (B).
La solution existe, et elle est simple. Il faut rompre une symétrie. Mais ici, la solution doit être purement physique et les seuls objets manipulables sont les deux barres, et ... le ruban.
L'attraction magnétique est complètement symétrique par rapport aux deux barres : elle ne permet pas de dire qui attire et qui est attiré... sauf justement en un point : celui qui correspond au milieu de la barre aimantée, qui, lui, par symétrie, ne peut être aimanté.
On détermine donc le milieu de l'une des barres (B par exemple). Pour cela, on prend sa longueur avec le ruban. On plie en deux la partie du ruban qui correspond à la longueur de la barre pour en déterminer le milieu.
Alors, on présente l'autre barre (A) perpendiculairement au milieu de la barre (B).
LE BARBIER
Un jeune étudiant se rendit un jour chez son barbier. Il engagea la conversation et lui demanda s'il avait de nombreux concurrents dans sa jolie cité. De manière apparemment innocente, le barbier lui répondit :
"Je n'ai aucune concurrence. En effet, de tous les hommes de la cité, je ne rase évidemment pas ceux qui se rasent eux-mêmes, mais j'ai le bonheur de raser tous ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes."
En quoi donc, une telle affirmation si simple, put-elle mettre en défaut la logique de notre jeune étudiant si malin ?
Un jeune étudiant se rendit un jour chez son barbier. Il engagea la conversation et lui demanda s'il avait de nombreux concurrents dans sa jolie cité. De manière apparemment innocente, le barbier lui répondit :
"Je n'ai aucune concurrence. En effet, de tous les hommes de la cité, je ne rase évidemment pas ceux qui se rasent eux-mêmes, mais j'ai le bonheur de raser tous ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes."
En quoi donc, une telle affirmation si simple, put-elle mettre en défaut la logique de notre jeune étudiant si malin ?
La réponse est en effet innocente, jusqu'au moment où l'on décide
de l'appliquer au cas du barbier.
Se rase-t-il lui-même, oui ou non ?
Supposons qu'il se rase lui-même : il entre dans la catégorie de ceux qui se rasent
eux-mêmes, dont le barbier a précisé qu'il ne les rasait évidemment pas.
Donc, il ne se rase pas lui-même !
Supposons alors qu'il ne se rase pas lui-même : il entre dans la catégorie de ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes, dont le barbier a précisé qu'il les rasait tous.
Donc, il se rase lui-même.
Finalement, ce malheureux barbier est dans une position étrange :
s'il se rase lui-même, il ne se rase pas ;
et s'il ne se rase pas lui-même, il se rase.
Cette logique est autodestructrice, stupidement contradictoire,
rationnellement irrationnelle.
Remarque :
Ce paradoxe de la logique n'est pas qu'une amusette de philosophe désœuvré, et a un rapport étroit avec les mathématiques.
Au début du XXe siècle, Bertrand RUSSELL et plus tard Rudolf CARNAP (Théorie dite des types logiques), montrent que les entités logiques ne sont pas toutes de même type. Le "tout" dans un ensemble d'objets n'est pas du même type que les objets eux-mêmes.
Ainsi, ce qui s'applique à tous les hommes,
ne s'applique pas au cas individuel du barbier.
de l'appliquer au cas du barbier.
Se rase-t-il lui-même, oui ou non ?
Supposons qu'il se rase lui-même : il entre dans la catégorie de ceux qui se rasent
eux-mêmes, dont le barbier a précisé qu'il ne les rasait évidemment pas.
Donc, il ne se rase pas lui-même !
Supposons alors qu'il ne se rase pas lui-même : il entre dans la catégorie de ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes, dont le barbier a précisé qu'il les rasait tous.
Donc, il se rase lui-même.
Finalement, ce malheureux barbier est dans une position étrange :
s'il se rase lui-même, il ne se rase pas ;
et s'il ne se rase pas lui-même, il se rase.
Cette logique est autodestructrice, stupidement contradictoire,
rationnellement irrationnelle.
Remarque :
Ce paradoxe de la logique n'est pas qu'une amusette de philosophe désœuvré, et a un rapport étroit avec les mathématiques.
Au début du XXe siècle, Bertrand RUSSELL et plus tard Rudolf CARNAP (Théorie dite des types logiques), montrent que les entités logiques ne sont pas toutes de même type. Le "tout" dans un ensemble d'objets n'est pas du même type que les objets eux-mêmes.
Ainsi, ce qui s'applique à tous les hommes,
ne s'applique pas au cas individuel du barbier.
LE JEUNE DOCTEUR DE LA JURISPRUDENCE
On raconte qu'il y avait, dans une école célèbre d'une ville superbe, un maître de la jurisprudence d'une grande habileté. Ce maître pouvait, par la puissance de sa pensée et de son raisonnement, démontrer d'une situation quelconque qu'elle était favorable, puis dans l'instant d'après, prouver rigoureusement l'inverse, sans que quiconque puisse ensuite décider laquelle des deux démonstrations était inexacte.
Un jour, il trouva son égal...
Un de ses jeunes élèves, venu d'une contrée éloignée, s'était présenté à lui le premier jour d'enseignement, et lui avait indiqué qu'il ne disposait pas de la somme nécessaire au paiement de ses cours. Il lui avait demandé comment résoudre cette difficulté, car il tenait immensément à suivre son extraordinaire pédagogie. Le maître, sûr de la qualité et de la force de l'enseignement qu'il dispensait, lui avait indiqué qu'il acceptait de n'être rémunéré qu'au premier procès que l'étudiant gagnerait. Et ils s'étaient mis d'accord sur cette procédure. Le jeune étudiant suivit l'enseignement pendant des semaines et des années ; il obtint ses diplômes, s'installa, mit devant sa porte l'enseigne de docteur de la jurisprudence et attendit les clients.
Or, aucun client ne se présenta, ni le premier jour, ni le premier mois, ni la première année. Durant ce temps, le maître attendait d'être payé ; il s'impatienta et décida finalement de réclamer son dû devant les tribunaux, expliquant à son jeune élève qu'il faisait le raisonnement suivant, en conformité avec son astuce coutumière.
"Ou je gagne mon procès, et, fâcheux étudiant, tu me paies en exécution du jugement du tribunal ; ou je perds ce procès, et c'est toi qui le gagnes, et tu dois me payer, conformément à notre conversation qui prescrit que tu rembourses la dette au premier procès que tu remportes. Ainsi, que je perde ou que je gagne, je serai payé dans les deux cas."
Mais son enseignement avait été efficace et le jeune étudiant était devenu son égal en argutie et subtilité. Aussi répondit-il à son maître dans les termes suivants :
"O mon maître de la jurisprudence, je pense que la situation est à l'inverse de ce que tu décris, et il me semble que je ne dois te payer dans aucun des deux cas. En effet, si je gagne le procès, je n'ai pas à payer, en exécution du jugement du tribunal, et si tu le gagnes, je n'ai pas à te payer, conformément à notre convention qui prescrit que je ne te rembourse ma dette qu'au premier procès que je remporte."
Tel est pris qui croyait prendre
Dans cette énigme, comme dans quelques unes des précédentes, c'est l'application stricte de la logique qui conduit à l'illogique.
On raconte qu'il y avait, dans une école célèbre d'une ville superbe, un maître de la jurisprudence d'une grande habileté. Ce maître pouvait, par la puissance de sa pensée et de son raisonnement, démontrer d'une situation quelconque qu'elle était favorable, puis dans l'instant d'après, prouver rigoureusement l'inverse, sans que quiconque puisse ensuite décider laquelle des deux démonstrations était inexacte.
Un jour, il trouva son égal...
Un de ses jeunes élèves, venu d'une contrée éloignée, s'était présenté à lui le premier jour d'enseignement, et lui avait indiqué qu'il ne disposait pas de la somme nécessaire au paiement de ses cours. Il lui avait demandé comment résoudre cette difficulté, car il tenait immensément à suivre son extraordinaire pédagogie. Le maître, sûr de la qualité et de la force de l'enseignement qu'il dispensait, lui avait indiqué qu'il acceptait de n'être rémunéré qu'au premier procès que l'étudiant gagnerait. Et ils s'étaient mis d'accord sur cette procédure. Le jeune étudiant suivit l'enseignement pendant des semaines et des années ; il obtint ses diplômes, s'installa, mit devant sa porte l'enseigne de docteur de la jurisprudence et attendit les clients.
Or, aucun client ne se présenta, ni le premier jour, ni le premier mois, ni la première année. Durant ce temps, le maître attendait d'être payé ; il s'impatienta et décida finalement de réclamer son dû devant les tribunaux, expliquant à son jeune élève qu'il faisait le raisonnement suivant, en conformité avec son astuce coutumière.
"Ou je gagne mon procès, et, fâcheux étudiant, tu me paies en exécution du jugement du tribunal ; ou je perds ce procès, et c'est toi qui le gagnes, et tu dois me payer, conformément à notre conversation qui prescrit que tu rembourses la dette au premier procès que tu remportes. Ainsi, que je perde ou que je gagne, je serai payé dans les deux cas."
Mais son enseignement avait été efficace et le jeune étudiant était devenu son égal en argutie et subtilité. Aussi répondit-il à son maître dans les termes suivants :
"O mon maître de la jurisprudence, je pense que la situation est à l'inverse de ce que tu décris, et il me semble que je ne dois te payer dans aucun des deux cas. En effet, si je gagne le procès, je n'ai pas à payer, en exécution du jugement du tribunal, et si tu le gagnes, je n'ai pas à te payer, conformément à notre convention qui prescrit que je ne te rembourse ma dette qu'au premier procès que je remporte."
Tel est pris qui croyait prendre
Dans cette énigme, comme dans quelques unes des précédentes, c'est l'application stricte de la logique qui conduit à l'illogique.
RUSSELL ET LE PAPE
Un étudiant en philosophie demande à RUSSELL quelques éclaircissements :
" Prétendez-vous que 2 + 2 = 5, il s'ensuit que vous êtes le pape ?"
"Oui", fit RUSSELL.
L'étudiant étant sceptique, RUSSELL proposa la démonstration suivante :
1°) Supposons que 2 + 2 = 5
2°) Soustrayons 2 de chaque membre de l'identité, nous obtenons 2 = 3
3°) Par symétrie, 3 = 2
4°) Soustrayons 1 de chaque côté, il vient 2 = 1
Maintenant, le pape et moi sommes deux. Puisque 2 = 1, le Pape et moi sommes 1.
Par suite, je suis le Pape.
"Les mathématiques sont une science dans laquelle on ne sait jamais de quoi on parle, et où l'on ne sait jamais si ce que l'on dit est vrai."
(Bertrand RUSSELL)
Un étudiant en philosophie demande à RUSSELL quelques éclaircissements :
" Prétendez-vous que 2 + 2 = 5, il s'ensuit que vous êtes le pape ?"
"Oui", fit RUSSELL.
L'étudiant étant sceptique, RUSSELL proposa la démonstration suivante :
1°) Supposons que 2 + 2 = 5
2°) Soustrayons 2 de chaque membre de l'identité, nous obtenons 2 = 3
3°) Par symétrie, 3 = 2
4°) Soustrayons 1 de chaque côté, il vient 2 = 1
Maintenant, le pape et moi sommes deux. Puisque 2 = 1, le Pape et moi sommes 1.
Par suite, je suis le Pape.
"Les mathématiques sont une science dans laquelle on ne sait jamais de quoi on parle, et où l'on ne sait jamais si ce que l'on dit est vrai."
(Bertrand RUSSELL)
PARMI CES PROPOSITIONS
Trois sont fausses
18/3 = 4
2 est pair, 3 est impair, donc (2 + 3) est impair
cette expression contient six mots
2 = 1
le dromadaire à une bosse
Trois sont fausses
18/3 = 4
2 est pair, 3 est impair, donc (2 + 3) est impair
cette expression contient six mots
2 = 1
le dromadaire à une bosse
Oui, 3 propositions sont fausses, les voici :
18/3 = 4
2 = 1
trois sont fausses
Mais alors la dernière devient vraie, donc il n'y a plus que deux propositions fausses.
Nous nous retrouvons en pleine contradiction, comme dans "Le barbier" ci-dessus.
Le problème vient du fait que la proposition "trois sont fausses" est incluse à la fois dans la question et les propositions. Kurt GÖDEL a démontré qu'à ce niveau, on est toujours bloqué.
18/3 = 4
2 = 1
trois sont fausses
Mais alors la dernière devient vraie, donc il n'y a plus que deux propositions fausses.
Nous nous retrouvons en pleine contradiction, comme dans "Le barbier" ci-dessus.
Le problème vient du fait que la proposition "trois sont fausses" est incluse à la fois dans la question et les propositions. Kurt GÖDEL a démontré qu'à ce niveau, on est toujours bloqué.
LES TROIS ENFANTS
La mère de Toto a trois enfants : Pim, Pam et ...?
La mère de Toto a trois enfants : Pim, Pam et ...?
NON ! Pas Poum, mais TOTO !!!
ACCIDENT
Un père et son fils roulent en voiture.
ACCIDENT ! Le père est tué et le SAMU transporte d'urgence le fils à l'hôpital.
L'interne de service arrive et, voyant son fils sur le brancard, s'écrie ;
"Ciel ! mon fils !"
Comment est-ce possible ?
Un père et son fils roulent en voiture.
ACCIDENT ! Le père est tué et le SAMU transporte d'urgence le fils à l'hôpital.
L'interne de service arrive et, voyant son fils sur le brancard, s'écrie ;
"Ciel ! mon fils !"
Comment est-ce possible ?
L'interne de service est la maman !
MAISON ISOLÉE
Dans une maison isolée, avec une cheminée, une lampe à huile et une seule allumette, vous ne pouvez allumer qu'un chose.
Quelle est la première chose que vous allumez ?
Dans une maison isolée, avec une cheminée, une lampe à huile et une seule allumette, vous ne pouvez allumer qu'un chose.
Quelle est la première chose que vous allumez ?
Bien sûr, l'allumette !
LES FILLES ET LES GARÇONS
A Eratoville, 240 candidats des collèges Castor et Pollux
passent une épreuve de mathématiques.
Il y a autant de filles que de garçons. Les deux collèges présentent
autant de candidats l'un que l'autre.
Dans chacun des deux collèges, les garçons ont un pourcentage de réussite qui excède de 20 % celui des filles.
Pourtant le rectorat affirme que le succès général à l'épreuve
a été de 20 % meilleur chez les filles.
passent une épreuve de mathématiques.
Il y a autant de filles que de garçons. Les deux collèges présentent
autant de candidats l'un que l'autre.
Dans chacun des deux collèges, les garçons ont un pourcentage de réussite qui excède de 20 % celui des filles.
Pourtant le rectorat affirme que le succès général à l'épreuve
a été de 20 % meilleur chez les filles.
Explications :
Finalement, on peut dire tout à la fois :
Dans chacun des deux collèges les garçons ont réussi avec 20 % de mieux que les filles
ou
Globalement, les filles ont réussi avec 20 % de mieux que les garçons.
Dans chacun des deux collèges les garçons ont réussi avec 20 % de mieux que les filles
ou
Globalement, les filles ont réussi avec 20 % de mieux que les garçons.
PUBLICITÉS
Le consommateur peur interpréter de façon erronée une publicité :
Le consommateur peur interpréter de façon erronée une publicité :
+ 25 % de produit
"donc 25 % moins cher" interprète le consommateur. C'est inexact. En effet, pour le même prix, nous avons 25 % de produit en plus, la quantité est donc multipliée par 1.25. Par exemple, pour 100 €, nous avons maintenant 1.25 fois plus de produit. Et chaque unité coûte donc : 100/1.25 = 80 € au lieu de 100 €. Pour 100 €, nous économisons 20 €. Nous payons donc 20 % moins cher (pas 25). Notre interprétation n'est pas dans notre intérêt. |
25 % moins cher
"donc 25 % de produit en plus" interprète souvent le consommateur. C'est faux, il en a plus ! Supposons que pour 100 €, nous avions d'abord une unité de produit. Maintenant, le prix est multiplié par 0.75. Pour 100 €, nous aurons donc : (1/0.75) unité de produit, soit à peu près 1.33 unités de produit, soit 33 % de produit en plus. Cette fois, la publicité ne met pas le gain en valeur. |
VOITURE MOINS CHÈRE
Le vendeur propose à son client une voiture ayant servi pour les démonstrations.
1°) Il lui propose donc une réduction de 20 % sur le prix hors taxe. La TVA est à 19.6 %.
2°) Voyant que le client hésite, il décide de lui faire une fleur et propose alors la réduction de 20 % sur le prix taxe comprise, au lieu de la faire sur le prix hors taxe.
Très heureux, le client décide immédiatement d'acheter la voiture.
Le client a-t-il fait une bonne affaire ?
Le vendeur propose à son client une voiture ayant servi pour les démonstrations.
1°) Il lui propose donc une réduction de 20 % sur le prix hors taxe. La TVA est à 19.6 %.
2°) Voyant que le client hésite, il décide de lui faire une fleur et propose alors la réduction de 20 % sur le prix taxe comprise, au lieu de la faire sur le prix hors taxe.
Très heureux, le client décide immédiatement d'acheter la voiture.
Le client a-t-il fait une bonne affaire ?
Il n'a absolument rien obtenu
1°) Supposons le prix de la voiture Hors Taxes
Appliquons la réduction de 20 % sur ce montant HT Nouvelle valeur Hors Taxes Appliquons la TVA à 19.6 % Prix d'achat final |
10 000 €
2 000 € 8 000 € 1 568 € 9 568 € |
2°) La voiture Hors Taxes est donc à
Rajoutons la TVA à 19.6 % Soit prix TTC Moins la réduction de 20 % sur ce prix TTC Prix d'achat final |
10 000 €
1 960 € 11 960 € 2 392 € 9 568 € |
Finalement, le prix est identique :
l'acheteur s'est fait duper par le raisonnement du vendeur.
l'acheteur s'est fait duper par le raisonnement du vendeur.
LES "F"
Comptez le nombre de "F" dans le texte suivant :
"FINISHED FILES ARE THE RE-
SULT OF YEARS OF SCIENTIF-
IC STUDY COMBINED WITH THE
EXPERIENCE OF YEARS"
Comptez le nombre de "F" dans le texte suivant :
"FINISHED FILES ARE THE RE-
SULT OF YEARS OF SCIENTIF-
IC STUDY COMBINED WITH THE
EXPERIENCE OF YEARS"
Combien en avez-vous trouvé ? 3 ?
Faux ! Il y en a .... 6
Le cerveau ne peut traiter "OF".
Incroyable, non ?
Quiconque compte les six "F" du premier coup est un génie, quatre ou cinq est plutôt rare, trois est normal.
Moins de trois, on change ses lunettes.
Faux ! Il y en a .... 6
Le cerveau ne peut traiter "OF".
Incroyable, non ?
Quiconque compte les six "F" du premier coup est un génie, quatre ou cinq est plutôt rare, trois est normal.
Moins de trois, on change ses lunettes.
DECRYPTAGE
Essayez de décrypter le paragraphe suivant :
Sleon une édtue de l'Uvinertisé de Cmabrigde, l'odrre des ltteers dnas un mot n'a pas d'ipmrotncae, la suele coshe ipmrotnate est que la pmeirère et la drenéire lteetrs sinoet à la bnnoe pclae. Le rsete peut êrte dnas un dsérorde ttoal et vuos puoevz tujoruos lrie snas porblmèe. C'est prace que le creaveu hmauin ne lit pas chuaqe ltetre elle-mmêe, mias le mot cmome un tuot.
Essayez de décrypter le paragraphe suivant :
Sleon une édtue de l'Uvinertisé de Cmabrigde, l'odrre des ltteers dnas un mot n'a pas d'ipmrotncae, la suele coshe ipmrotnate est que la pmeirère et la drenéire lteetrs sinoet à la bnnoe pclae. Le rsete peut êrte dnas un dsérorde ttoal et vuos puoevz tujoruos lrie snas porblmèe. C'est prace que le creaveu hmauin ne lit pas chuaqe ltetre elle-mmêe, mias le mot cmome un tuot.
Je suis sûr que ça n'a pas été un gros problème pour vous, mais je vais tout de même vous la transcrire d'une manière plus lisible.
Selon une étude de l'université de Cambridge, l'ordre des lettres dans un mot n'a pas d'importance, la seule chose importante est que la première et la dernière lettres soient à la bonne place. Le reste peut être dans un désordre total et vous pouvez toujours lire sans problème. C'est parce que le cerveau humain ne lit pas chaque lettre elle-même, mais le mot comme un tout.
Ceci semble incroyable, non ?
Vous pouvez vous-mêmes créer ce genre de phrase en respectant ce qui vient d'être énoncé.
Selon une étude de l'université de Cambridge, l'ordre des lettres dans un mot n'a pas d'importance, la seule chose importante est que la première et la dernière lettres soient à la bonne place. Le reste peut être dans un désordre total et vous pouvez toujours lire sans problème. C'est parce que le cerveau humain ne lit pas chaque lettre elle-même, mais le mot comme un tout.
Ceci semble incroyable, non ?
Vous pouvez vous-mêmes créer ce genre de phrase en respectant ce qui vient d'être énoncé.
LA PHRASE
Lisez très rapidement la phrase suivante :
IL
VA
A LA
LA PLAGE
Lisez très rapidement la phrase suivante :
IL
VA
A LA
LA PLAGE
Relisez-la lentement.
9 fois sur 10, un "LA" est éludé.
J'ai "subi" moi-même ce test lors d'un stage de conduite sur route mouillée chez Centaure, où on nous a expliqué que le cerveau interprète quelque chose de logique, de cohérent ; dans ce cas précis, le cerveau interprète ce que le panneau veut dire.
9 fois sur 10, un "LA" est éludé.
J'ai "subi" moi-même ce test lors d'un stage de conduite sur route mouillée chez Centaure, où on nous a expliqué que le cerveau interprète quelque chose de logique, de cohérent ; dans ce cas précis, le cerveau interprète ce que le panneau veut dire.
CALCUL MENTAL
Faites (et faites faire) rapidement et dans l'ordre des nombres, ce calcul mental.
1 000
+ 40
+ 1 000
+ 30
+ 1 000
+ 20
+ 1 000
+ 10
TOTAL ...........?
Faites (et faites faire) rapidement et dans l'ordre des nombres, ce calcul mental.
1 000
+ 40
+ 1 000
+ 30
+ 1 000
+ 20
+ 1 000
+ 10
TOTAL ...........?
Bien sûr vous avez trouvé : 4 100
et non pas 5 000 !
et non pas 5 000 !
LA MULTIPLICATION CHINOISE
Voulez-vous "tester" la méthode chinoise pour effectuer les multiplications ?
C'est une manière que j'ai trouvée sur Internet (bien sûr !) sous forme de vidéo.
Je vais essayer de vous expliquer comment ça marche.
Prenons un premier exemple simple : 34 x 23 = ?
Voulez-vous "tester" la méthode chinoise pour effectuer les multiplications ?
C'est une manière que j'ai trouvée sur Internet (bien sûr !) sous forme de vidéo.
Je vais essayer de vous expliquer comment ça marche.
Prenons un premier exemple simple : 34 x 23 = ?
La méthode consiste à d'abord tracer des lignes "horizontales" et "verticales", en quantités correspondant aux chiffres des multiplicateur et multiplicande.
Pour être plus clair,
nous allons tracer
horizontalement : 3 lignes (le 3 de 34) puis 4 lignes séparées des précédentes (le 4 de 34)
Alors nous tracerons
verticalement 2 lignes (le 2 de 23) puis 3 lignes séparées des précédentes (le 3 de 23)
Voyez plutôt :
Pour être plus clair,
nous allons tracer
horizontalement : 3 lignes (le 3 de 34) puis 4 lignes séparées des précédentes (le 4 de 34)
Alors nous tracerons
verticalement 2 lignes (le 2 de 23) puis 3 lignes séparées des précédentes (le 3 de 23)
Voyez plutôt :
A présent, qu'allons-nous en faire ?
Nous nous apercevons que sont créées des intersections aux croisements des lignes.
Nous allons les repérer en les entourant d'une certaine manière.
Nous nous apercevons que sont créées des intersections aux croisements des lignes.
Nous allons les repérer en les entourant d'une certaine manière.
En bas à droite : ce sont les unités En haut à gauche ; ce sont les centaines Au milieu : les dizaines Il est important de procéder dans cet ordre, vous verrez plus loin pourquoi ; donc toujours bas à droite, puis haut à gauche... Nous allons compter ces intersections et les noter comme sur le dessin suivant |
Nous avons dénombré 12 intersections en bas à droite, donc 12 Unités
Puis 6 intersections en haut à gauche, donc 17 Centaines
Enfin 17 Dizaines
Nous remarquons "12 Unités", ce qui veut dire 2 Unités + 1 Dizaine.
Nous allons donc conserver le 2 en Unité et rajouter 1 au nombre de Dizaines, ce qui en fera 18
Il nous faudra continuer ainsi car 18 Dizaines = 8 Dizaines + 1 Centaine
Nous allons donc rajouter 1 au nombre des Centaines et le faire passer à 7
Nous allons donc rajouter 1 au nombre des Centaines et le faire passer à 7
Nous avons ainsi notre résultat :
7 Centaines 8 Dizaines 2 Unités soit 782
Je vous ai indiqué un peu plus haut, en bleu de procéder par bas droite et haut gauche en priorité ; vous allez en comprendre la raison.
Choisissons une multiplication plus compliquée : par exemple : 431 x 215 = ?
Nous nous retrouverons avec cette figure :
Choisissons une multiplication plus compliquée : par exemple : 431 x 215 = ?
Nous nous retrouverons avec cette figure :
J'ai noté en rouge l'ordre des opérations : vous avez bien compris que l'importante est la dernière qui va prendre les dernières intersections centrales
A présent, comme ci-dessus, comptons et notons.
Il nous reste à procéder de la même manière, à savoir :
16 Dizaines = 6 Dizaines + 1 Centaine (qui les passe à 26)
25 Centaines = 5 Centaines + 2 Milliers (qui devient 12)
Et enfin, 12 milliers = 2 Milliers et 1 qui se rajoute aux Dizaines de mille, soit 9
Notre résultat est donc
Notre résultat est donc : 92 665
Il en sera donc toujours de même avec des nombres plus importants.
Vous commencerez par les "extrêmes" (bas droite et haut gauche), puis vous continuerez par les intersections voisines (bas droite et haut gauche), et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'il ne vous reste plus
qu'une seule série d'intersections.
S'il vous en restait 2, vous les considéreriez comme précédemment : comme "voisines".
Vous commencerez par les "extrêmes" (bas droite et haut gauche), puis vous continuerez par les intersections voisines (bas droite et haut gauche), et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'il ne vous reste plus
qu'une seule série d'intersections.
S'il vous en restait 2, vous les considéreriez comme précédemment : comme "voisines".
LA MULTIPLICATION MUSULMANE *
* J'ai repris cette méthode dans un livre paru en 1939 d'après l'ouvrage de Beha-Eddin. Je ne suis pas en mesure d'affirmer qu'elle est toujours d'actualité, mais elle est suffisamment intéressante pour que je vous la mentionne.
* J'ai repris cette méthode dans un livre paru en 1939 d'après l'ouvrage de Beha-Eddin. Je ne suis pas en mesure d'affirmer qu'elle est toujours d'actualité, mais elle est suffisamment intéressante pour que je vous la mentionne.
La disposition prise par les musulmans pour leurs multiplications est assez curieuse et semble
plus facile à comprendre que la nôtre pour les débutants.
Prenons pour exemple cette multiplication : 374 x 3 458 = 1 293 292
On inscrit l'un des facteurs de bas en haut puis l'autre de gauche à droite comme vous pouvez les voir sur ce tableau de calcul, écrits en rouge :
Après avoir tracé les cases (lignes et colonnes) ainsi que leur diagonale en pointillés, nous allons effectuer les multiplications chiffre par chiffre, en séparant bien les dizaines des unités (par ces fameux pointillés).
Ainsi, vous voyez en haut à droit le résultat de 4 (du 374) fois 8 (du 3458), soit 32 :
l'unité (2) est bien placée à droite et la dizaine (3) à sa gauche, séparée.
Nous procédons ainsi pour tous les chiffres en procédant par ligne :
donc 4 x 5 (le 5 des dizaines de 3458), nous trouvons 20, que nous inscrivons de la même manière que précédemment, et ainsi de suite, ligne par ligne et colonne par colonne. Tout en bas à gauche, nous retrouvons bien notre 3 x 3 = 9 (pour clarté j'ai positionné o dizaine).
Une remarque en passant : vous constatez que l'on peut effectuer ces opérations dans n'importe quel ordre, puisqu'on note chaque résultat séparément. Si vous aviez voulu commencer par le 7 x 4, vous auriez noté pareillement 28 au bon endroit.
Il nous reste alors à additionner les "diagonales" ; nous voyons ainsi :
Les unités : 2 (tout seul)
Les dizaines : 0 + 3 + 6 = 9
Les centaines : 6 + 2 + 5 + 5 + 4 = 22, donc 2 et on rajoutera la retenue (2) au suivant
Les milliers : 2 + 1 + 8 + 3 + 5 + 2 + la retenue 2 = 23, donc 3 et 2 à rajouter colonne suivante
Les dizaines de mille : 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + la retenue 2 = 9
Les centaines de mille : 2 + 9 + 1 (pas de retenue cette fois-ci) = 12, donc 2 et retenue 1...
Enfin les millions : 0 + la retenue 1 = 1
Le résultat est donc 1 293 292, que vous pouvez lire autour de notre cadre de gauche à droite.
Cette disposition a le désavantage de faire les additions obliquement mais en disposant différemment le rectangle, on peut obvier à cet inconvénient en opérant comme le montre mon 2e exemple, à savoir : 385 x 4729 = 1 820 665
Ainsi, vous voyez en haut à droit le résultat de 4 (du 374) fois 8 (du 3458), soit 32 :
l'unité (2) est bien placée à droite et la dizaine (3) à sa gauche, séparée.
Nous procédons ainsi pour tous les chiffres en procédant par ligne :
donc 4 x 5 (le 5 des dizaines de 3458), nous trouvons 20, que nous inscrivons de la même manière que précédemment, et ainsi de suite, ligne par ligne et colonne par colonne. Tout en bas à gauche, nous retrouvons bien notre 3 x 3 = 9 (pour clarté j'ai positionné o dizaine).
Une remarque en passant : vous constatez que l'on peut effectuer ces opérations dans n'importe quel ordre, puisqu'on note chaque résultat séparément. Si vous aviez voulu commencer par le 7 x 4, vous auriez noté pareillement 28 au bon endroit.
Il nous reste alors à additionner les "diagonales" ; nous voyons ainsi :
Les unités : 2 (tout seul)
Les dizaines : 0 + 3 + 6 = 9
Les centaines : 6 + 2 + 5 + 5 + 4 = 22, donc 2 et on rajoutera la retenue (2) au suivant
Les milliers : 2 + 1 + 8 + 3 + 5 + 2 + la retenue 2 = 23, donc 3 et 2 à rajouter colonne suivante
Les dizaines de mille : 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + la retenue 2 = 9
Les centaines de mille : 2 + 9 + 1 (pas de retenue cette fois-ci) = 12, donc 2 et retenue 1...
Enfin les millions : 0 + la retenue 1 = 1
Le résultat est donc 1 293 292, que vous pouvez lire autour de notre cadre de gauche à droite.
Cette disposition a le désavantage de faire les additions obliquement mais en disposant différemment le rectangle, on peut obvier à cet inconvénient en opérant comme le montre mon 2e exemple, à savoir : 385 x 4729 = 1 820 665
Vous avez compris la marche à suivre, il suffit de la rééditer, et de cette manière, le résultat se lit directement, sans avoir à se tordre le cou.